Question

设P（x，y）为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点，A（a，0）（0＜a＜3）为定点，已知|AP|的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析：由P（x，y）为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点，A（a，0）（0＜a＜3）为定点，知|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]及|AP|的最小值为1，能求出a的值．

解答：解：∵P（x，y）为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点，A（a，0）（0＜a＜3）为定点，
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4-

4

9

x2
=

5

9

(x-

9a

5

)2+4-

4a2

5

，x∈[-3，3]，
∵0＜a＜3，∴0＜

9a

5

＜

27

5

，
当0＜

9a

5

≤3，即0＜a≤

5

3

时，
|AP|²_min=4-

4

5

a2=1，解得a=

15

2

（舍）；
当

9a

5

＞3，即3＞a＞

5

3

时，
当x=3时取最小值，
则|AP|²_min=a²-6a+9=1，解得a=2，或a=4（舍）．
综上，a=2

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，具体涉及到椭圆的性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．