题目内容

已知点P是双曲线 $数学公式$ 右支上一点，F是该双曲线的右焦点，点M为线段PF的中点，若|OM|=3，则点P到该双曲线右准线的距离为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：根据a²-b²=c²求出右焦点F的坐标，根据双曲线的准线公式x= $\text{[math]}$ 求出右准线方程，然后设P的坐标（x，y），代入到双曲线方程，由M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出 $\text{[math]}$ ，最后联立方程得到x，根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离即可．
解答：由双曲线 $\text{[math]}$ 得a=2，b= $\text{[math]}$ ，
根据勾股定理得c=3，则右准线为 x= $\text{[math]}$ ，右焦点F（3，0），
设P（x，y），P在双曲线上，
∴ $\text{[math]}$ ①
由点M为PF中点，
根据中点坐标公式求得M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
且| $\text{[math]}$ |=3
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =9②
由①②解得：x= $\text{[math]}$ ．
右准线为 x= $\text{[math]}$ ，则点P到双曲线右准线的距离是 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题是一道综合题，考查学生掌握双曲线的一些简单性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求学生知识面要宽，综合运用数学知识解决问题．