Question

已知a是不为零的常数，二次函数g（x）=ax²-x的定义域为R，函数y=g（x-4）为偶函数．函数f（x）=ax²+x的定义域为[m，n]（m＜n）．
（1）求a的值；
（2）当m=0、n=12时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在实数m、n，使函数f（x）的值域为[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于函数y=g（x-4）为偶函数，其对称轴是y轴，则二次函数的一次项系数为0，得从而求得a；
（2）由（1）知，函数f（x）的解析式，问题即转化为二次函数在闭区间上的最值问题；
（3）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，对参数m，n分类讨论，判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）由于g（x-4）=a（x-4）²-（x-4）=ax²-（8a+1）x+16a+4，
由y=g（x-4）为偶函数，
则二次函数的一次项系数为0，知-（8a+1）=0，
∴a=-

1

8

．                                              
（2）f（x）=-

1

8

x2+x=-

1

8

(x-4)2+2，对称轴为直线x=4．   
当m=0、n=12时，定义域为[0，12]．
在[0，4]上f（x）递增，此时函数值的集合为[f（0），f（4）]，即[0，2]；
在[4，12]上f（x）递减，此时函数值的集合为[f（12），f（4）]，即[-6，2]；
所以，当m=0、n=12时，函数f（x）的值域为[-6，2]．                  
（3）存在实数m、n，使函数f（x）的值域为[3m，3n]．讨论如下：
①当n≤4时，函数f（x）在[m，n]递增，则函数值域为[f（m），f（n）]，
则

f(m)=- 1 8 m2+m=3m f(n)=- 1 8 n2+n=3n

，
即m、n是方程-

1

8

x2+x=3x的两根，而方程-

1

8

x2+x=3x的两根是0、-16，
所以由m＜n，得，m=-16、n=0．       
②当n＞4时，
若m≤4，函数的最大值为f（4）=2=3n，则n=

2

3

，相互矛盾．     
若m＞4，函数f（x）在[m，n]递减，则函数值域为[f（n），f（m）]，
故

f(m)=- 1 8 n2+n=3m f(n)=- 1 8 m2+m=3n

．
两式相减后，变形得（m-n）（m+n-32）=0，而m-n＜0，
所以，m+n-32=0，即n=32-m，
代入-

1

8

m2+m=3n得m²-32m+768=0，此方程无实解，此时不存在m、n． 
综上所述，存在实数m=-16、n=0，使函数f（x）的值域为[3m，3n]．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于a，b的方程组，（2）与（3）的关键是根据函数的值域判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程．