题目内容
已知向量
=(a+c,b),
=(a-c,b-a),且
⊥,其中A,B,C是△ABC的内角,a,b,c分别是角A,B,C的对边.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sinB的取值范围.
分析:(1)根据二向量垂直可推断出
•
=0,进而求得a,b和c的关系式,代入余弦定理求得cosC的值,进而求得c.
(2)根据C和B表示出A,进而利用两角和公式化简整理后,根据A的范围确定sinA+sinB的范围.
解答:解:(1)由
⊥
得
•
=0得(a+c)(a-c)+b(b-a)=0?a
2+b
2-c
2=ab
由余弦定理得cosC=
==∵0<C<π∴C=
(2)∵C=
∴A+B=
∴sinA+sinB=sinA+sin(
-A)=sinA+sin
cosA-cos
sinA
=
sinA+
cosA=
(
sinA+
cosA)
=
sin(A+
)
∵0<A<
∴
<A+
<
∴
<sin(A+
)≤1∴
<
sin(A+
)≤
即
<sinA+sinB≤
.
点评:本题主要考查了余弦定理的应用,两角和公式的化简求值,平面向量的性质.考查了学生综合分析运用所学知识的能力.
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