Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量

m

=（sinA-sinB，sinC），向量

n

=(

2

sinA-sinC，sinA+sinB)，

m

∥

n

共线．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinA=

3

5

，求cosC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两个向量共线的性质可得 sin²A-sin²B=

2

sinAsinC-sin²C．再由正弦定理可得 a²-b²=

2

ac-c²，再由余弦定理求得cosB 的值，从而求得B的值．
（Ⅱ）由 sinA=

3

5

＜

2

2

，可得 A＜B，可得cosA的值，再根据cosC=cos（A+B），利用两角和的余弦公式求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）-sinC（

2

sinA-sinC）=0，
∴sin²A-sin²B=

2

sinAsinC-sin²C．
再由正弦定理可得 a²-b²=

2

ac-c²，再由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，∴B=

π

4

．
（Ⅱ）∵sinA=

3

5

＜

2

2

，∴A＜B，∴cosA=

4

5

，
故 cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=-

2

10

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式的应用，属于中档题．