题目内容

理科附加题:
已知数学公式展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),…an(x),an+1(x).
设F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x),…+nan(x)+(n+1)an+1(x).
(Ⅰ)若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求n的值;
(Ⅱ)求证:对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2).

解:(Ⅰ)依题意,k=1,2,3,…,n+1,
a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为Cn0=1,
所以
解得n=8;
(Ⅱ)F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x),…+nan(x)+(n+1)an+1(x)=
F(2)-F(0)=2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+(n+1)Cnn
设Sn=Cn0+2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+(n+1)Cnn
则Sn=(n+1)Cnn+nCnn-1…+3Cn2+2Cn1+Cn0
考虑到Cnk=Cnn-k,将以上两式相加得:2Sn=(n+2)(Cn0+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn
所以Sn=(n+2)2n-1
所以F(2)-F(0)=(n+2)2n-1-1
又当x∈[0,2]时,F'(x)≥0恒成立,
从而F(x)是[0,2]上的单调递增函数,
所以对任意x1,x2∈[0,2],|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)═(n+2)2n-1-1<(n+2)2n-1
分析:(I)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出前三项的系数,据a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,列出方程求出n的值.
(II)先利用到序相加法求出F(2)-F(0)的值,利用导数判断出F9x)的单调性,得证.
点评:解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式;求数列的前n项和问题关键是利用数列的通项公式的形式,选择合适的方法.
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