Question

已知椭圆经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），
（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；
（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

Answer 1

解：（1）当m=3时，直线l与椭圆相离；
（2）可知直线l的斜率为，
设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，
设直线a的方程为，
联立，
∴，
∴直线a的方程为，
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线的距离；
（3）由，
∴，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可，
设，
而


，
∴，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。