Question

17、已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^mm≥1+mx；

Answer 1

分析：本题考察的知识点是数学归纳法，要证明当x＞-1时，（1+x）^mm≥1+mx，我们要先证明m=1时，（1+x）^mm≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）^mm≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）^mm≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞-1时，（1+x）^mm≥1+mx．

解答：解：视，（1+x）^mm≥1+mx为关于m的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
则当m=k+1时，
∵x＞-1，
∴1+X＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．