Question

已知p：过点M（2，1）的直线与焦点在x轴上的椭圆

x2

6

+

y2

k

=1恒有公共点，q：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示双曲线，问：p是q的什么条件？并说明理由．

Answer 1

分析：先利用椭圆的标准方程和点在椭圆内，列不等式解得命题p中k的取值范围，即命题p的等价命题，再利用双曲线的标准方程求得命题q的等价命题，最后利用集合法判断两命题的充分必要性

解答：解：∵椭圆

x2

6

+

y2

k

=1的焦点在x轴上，∴0＜k＜6     ①
∵过点M（2，1）的直线与焦点在x轴上的椭圆

x2

6

+

y2

k

=1恒有公共点
∴点M（2，1）在椭圆

x2

6

+

y2

k

=1内或其上，即

22

6

+

12

k

≤1  ②
由①②得3≤k＜6
∴命题p等价于k∈[-3，6）
∵方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示双曲线
∴（k-4）•（k-6）＜0⇒4＜k＜6，
∴命题q等价于k∈[4，6）
∵[-3，6）?[4，6）
∴p是q的必要不充分条件．

点评：本题主要考查了判断命题充分必要性的方法，椭圆和双曲线的标准方程及其应用，点与圆锥曲线的位置关系及其应用，转化化归的思想方法