Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：a=

3

2

；a=1；a=2；a=

3

；a=4．若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，设出点Q的坐标，进而得到向量PQ，QD的坐标，再结合PQ⊥QD即可求出结论．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
设Q（a，x，0）（0≤x≤2），
∵

PQ

=（a，x，-2），

QD

=（-a，2-x，0），
∴由PQ⊥QD得

PQ

•

QD

=0，
∴a²=x（2-x）
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]…
∴在所给数据中，a可取

3

2

和a=1两个值．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．