题目内容

已知命题P：x1、x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2
2
ax+11a≤0，
若命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围．
分析：由题条件，先解出两个命题为真命题时的等价条件，再根据命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围
解答：解：p为真命题时，由|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
m2+8
≤3∴a2-5a-6≥0，∴a≥6或a≤-1
q为真命题时，△=(2
2
a)2-44a=0∴a=0或a=
11
2

由p假q真，∴
-1＜a＜6
a=0或a=
11
2
∴a=0或a=
11
2
点评：本题必要条件、充分条件与充要条件的判断与应用，求解本题关键是对p条件中恒成立问题的正确转化以及q条件中只有一个实数满足不等式这个存在性问题的正确理解与转化．此两点也是本题的易错点，厘清逻辑关系很重要．
练习册系列答案
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下面给出的4个命题：
①已知命题p：?x1，x2∈R，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0，则?p：?x1，x2∈R，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
≥0；
②函数f（x）=2-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x0满足f（x0）=x0，则称x0是f（x）的不动点．若f（x）=x2+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（　　）
下面给出的4个命题：
①已知命题p：?x1，x2∈R，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0，则?p：?x1，x2∈R，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
≥0；
②函数f（x）=2-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x0满足f（x0）=x0，则称x0是f（x）的不动点．若f（x）=x2+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4
已知命题P：x1、x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2
2
ax+11a≤0，
若命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围．
已知命题P：x1、x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[-1，1] 恒成立；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+ax+11a≤0，若命题p是假命题，同时命题q是真命题，求a的取值范围．

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