Question

设0＜a＜1，且log_ax+3log_xa-log_xy=3，
（1）设x=a^t（t≠0），以a，t表示y；
（2）若y的最大值为

2

4

，求a，x．

Answer 1

分析：（1）若设x=a^t，试用a、t表示y．首先对等式log_ax+3log_xa-log_xy=3利用换底公式化简为（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y，然后把x=a^t代入化简即可．
（2）先根据（1）所解得的函数y=at2-3t+3，然后利用二次函数的性质求如果y有最大值

2

4

时a和x的值

解答：解：（1）已知 log_ax+3log_xa-log_xy=3
即log_ax+3log_xa-3=log_xy
利用换底公式有：log_ax+3log_xa-3=

logay

logax

则（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y．
设x=a^t，则：t=log_a^x．
即：t²-3t+3=log_a^y，
∴y=at2-3t+3．
（2）∵y=f（x）有最大值

2

4

，且0＜a＜1，
∴log_ay有最小值log_a

2

4

当log_ax=

3

2

时，log_a

2

4

=

3

4

∴a=

1

4

此时log

1

4

x=

3

2

∴x=

1

8

，
即a=

1

4

，x=

1

8

为所求

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的值域与最值、对数方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．