Question

13．已知定点A（0，-1），点B在圆F：（x-1）²+y²=16上一运动，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程

解答 解：由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1（a＞b＞0），
则2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴点P的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的定义和几何性质，以及点圆位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．