Question

空间一条直线l₁与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，则另一条直线l₂与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则下列说法正确的是________．
①此四棱柱必为正方体；
②l₁与四棱柱的各边所成的角也相等；
③若四棱柱为正四棱柱，l₁与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin²α+sin²β=1．

Answer 1

②③
分析：一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，可以在正四棱柱中截取一个正方体，直线l₁可以是此正方体的体对角线BH，直线l₁与这个正四棱柱的各条棱所成的角也相等，最后求出体对角线与面或棱所成的角的正弦即可进行判断．
解答：解：不妨在正四棱柱中截取一个正方体ABCD-EFGH，如图．
空间一条直线l₁与此正四棱柱的各个面所成的角都为α，直线l₁可以是此正方体的体对角线BH，直线l₁与这个正四棱柱的各条棱所成的角也相等，故②正确；
但是此正四棱柱未必为正方体，故①不正确；
在图中，∠HBE=α，∠HBA=β，
且sin²α+sin²β=+=+===1，故③正确．
故答案为：②③．
点评：本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念，充分考查了转化思想的应用．