Question

在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器（只有一个下底面和侧面的长方体）．该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体（如图2）．请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设切去正方形边长为x，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的极值，进而得出此函数的最大值即可．（2）在（1）中之所以不符合要求，主要原因是因为裁去四个相同的小正方形形成资源浪费，没有充分利用现有材料，重新设计方案时，必须充分考虑材料不浪费．
解答：解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．（4分）
∴V₁′=4（3x²-8x+4），（5分）
令V₁′=0，即4（3x²-8x+4）=0，解得x₁=，x₂=2（舍去）．（7分）
∵V₁在（0，2）内只有一个极值，
∴当x=时，V₁取得最大值．＜5，即不符合要求（9分）
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂=3×2×1=6，显然V₂＞5．
故第二种方案符合要求．
（13分）
注：第二问答案不唯一．
点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．