Question

已知函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，求证：当x>2，f(x)>g(x)；

(3)若x₁≠x₂，且f(x₁)＝f(x₂)，求证：x₁＋x₂>4.

Answer 1

[解]　(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝.

令f′(x)＝0，解得x＝2.

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－
f(x)		极大值

∴f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．

∴当x＝2时，f(x)取得极大值f(2)＝.

(2)g(x)＝f(4－x)＝，令F(x)＝f(x)－g(x)＝－，

∴F′(x)＝－＝.

当x>2时，2－x<0,2x>4，从而e⁴－e^2x<0，

∴F′(x)>0，F(x)在(2，＋∞)是增函数．

∴F(x)>F(2)＝－＝0，故当x>2时，f(x)>g(x)成立．

(3)∵f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．

∴当x₁≠x₂，且f(x₁)＝f(x₂)，x₁、x₂不可能在同一单调区间内．

不妨设x₁<2<x₂，由(2)可知f(x₂)>g(x₂)，又g(x₂)＝f(4－x₂)，∴f(x₂)>f(4－x₂)．

∵f(x₁)＝f(x₂)，∴f(x₁)>f(4－x₂)．

∵x₂>2,4－x₂<2，x₁<2，且f(x)在区间(－∞，2)内为增函数，

∴x₁>4－x₂，即x₁＋x₂>4.