Question

如图一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．如图所示圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，…，a_n，有多少不同的种植方法

1. A.
   2ⁿ-2•（-1）^n-3种（n≥3）
2. B.
   2ⁿ-2•（-1）^n-2种（n≥3）
3. C.
   2ⁿ⁺¹-2•（-1）^n-3种（n≥3）
4. D.
   2^n-1-2•（-1）^n-3种（n≥3）

Answer 1

A
分析：法1：由题意知圆环分为n等份，做法同前两种情况类似，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色．在这种情况下要分类，一类是a_n与a₁不同色的种法，另一类是a_n与a₁同色的种法，根据分类计数原理得到结果；
法2：特值法，令n=3，易得此时的种法，依次计算选项的值，验证可得答案．
解答：法1：圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、、a_n都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色．
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S（n）（n≥3）种．
另一类是a_n与a₁同色的种法，这时把a_n与a₁看成一部分，相当于对n-1部分符合要求的种法，记为S（n-1）．
共有3×2^n-1种种法．
这样就有S（n）+S（n-1）=3×2^n-1．
即S（n）-2ⁿ=-[S（n-1）-2^n-1]，则数列{S（n）-2ⁿ}（n≥3）是首项为S（3）-2³公比为-1的等比数列．
则S（n）-2ⁿ=[S（3）-2³]（-1）^n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2ⁿ+（6-8）（-1）^n-3．
∴S（n）=2ⁿ-2•（-1）^n-3．
法2：特值法
令n=3，易得此时的种法有A₃³=6种，
依次计算选项的值，验证可得A符合，
故选A，
点评：本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．