题目内容

过椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是
(x-1)2+
9
4
y2=1
(x-1)2+
9
4
y2=1
分析:设出N,A,B的坐标,将A,B的坐标代入椭圆方程,结合N为AB的中点,求出AB的斜率,再利用动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,求出AB的斜率,从而可得方程,化简即可.
解答:解:设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12
9
+
y12
4
=1
①,
x22
9
+
y22
4
=1

①-②,可得:
(x1-x2)x
9
+
(y1-y2)y
4
=0

y1-y2
x1-x2
=-
4x
9y

∵动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,
当M、N不重合时,有kAB=
y
x-2

y
x-2
=-
4x
9y

9
4
y2=-x(x-2)

(x-1)2+
9
4
y2=1
,(m≠2)
当M、N重合时,即M是A、B中点,M(2,0)适合方程(x-1)2+
9
4
y2=1

则N的轨迹方程为(x-1)2+
9
4
y2=1

故答案为:(x-1)2+
9
4
y2=1
点评:本题考查直线与椭圆的综合,考查点差法的运用,这是解决弦中点问题,常用的一种方法.
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