题目内容
过椭圆
+
=1内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是
x2 |
9 |
y2 |
4 |
(x-1)2+
y2=1
9 |
4 |
(x-1)2+
y2=1
.9 |
4 |
分析:设出N,A,B的坐标,将A,B的坐标代入椭圆方程,结合N为AB的中点,求出AB的斜率,再利用动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,求出AB的斜率,从而可得方程,化简即可.
解答:解:设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
+
=1①,
+
=1②
①-②,可得:
+
=0
∴
=-
∵动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,
当M、N不重合时,有kAB=
∴
=-
∴
y2=-x(x-2)
∴(x-1)2+
y2=1,(m≠2)
当M、N重合时,即M是A、B中点,M(2,0)适合方程(x-1)2+
y2=1,
则N的轨迹方程为(x-1)2+
y2=1,
故答案为:(x-1)2+
y2=1
x12 |
9 |
y12 |
4 |
x22 |
9 |
y22 |
4 |
①-②,可得:
(x1-x2)x |
9 |
(y1-y2)y |
4 |
∴
y1-y2 |
x1-x2 |
4x |
9y |
∵动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,
当M、N不重合时,有kAB=
y |
x-2 |
∴
y |
x-2 |
4x |
9y |
∴
9 |
4 |
∴(x-1)2+
9 |
4 |
当M、N重合时,即M是A、B中点,M(2,0)适合方程(x-1)2+
9 |
4 |
则N的轨迹方程为(x-1)2+
9 |
4 |
故答案为:(x-1)2+
9 |
4 |
点评:本题考查直线与椭圆的综合,考查点差法的运用,这是解决弦中点问题,常用的一种方法.

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