Question

（几何证明选讲选选做题）如图，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于．D已知BC=1，AB=

3

，则AD=

2

；过B、D分别作⊙O的切线，则这两条切线的夹角θ=

π

6

（或30°）

．

Answer 1

分析：由题意可得∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，由BC=1，AB=

3

可知∠C=60°，∠BAC=30°，由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°，△ABD中，由正弦定理

AB

sin60°

=

AD

sin45°

可求AD
由∠BAD=30°+45°=75°可得∠BOD=2∠BAD=150°，由∠OBP=∠ODP=90°及点ODPB共圆可求∠P

解答：解：∵AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D，BC=1，AB=

3

∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得

AB

sin60°

=

AD

sin45°

即AD=

3

sin60°

×sin45°=

2

∵∠BAD=30°+45°=75°
∴∠BOD=2∠BAD=150°
设所作的两切线交于点P，连接OB，OD，则可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴点ODPB共圆
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案为：

2

，30°

点评：本题主要考查了圆周角定理的应用，三角形的正弦定理的应用，及圆内接四边形性质的应用，属于圆的知识的综合应用．