题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（I）当k=-1时，判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（II）若f（x）在[e，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

解：（Ⅰ）当k=-1时，函数 $\text{[math]}$ ，
定义域为（-1，1），关于原点对称． …
且 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，
即f（-x）=-f（x）．
所以当k=-1时，函数f（x）的奇函数． …
（Ⅱ）因为y=lnu是增函数，
所以由题意， $\text{[math]}$ 在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立． …
即 $\text{[math]}$ 对于x∈[e，+∞）恒成立且g（e）＞0…
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
所以k的取值范围是 $\text{[math]}$ ． …
分析：（I）由k=-1代入，确定函数的解析式与定义域，判断定义域是否关于原点对称，若对称再判断f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义可得答案．
（II）根据复合函数的单调性，可得若f（x）在[e，+∞）上单调递增，则 $\text{[math]}$ 在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，求导后构造关于k的不等式组，解得可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，（I）的关键是掌握证明函数奇偶性的方法及步骤，（II）的关键是分析出 $\text{[math]}$ 在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．