题目内容
证明：| 2(cosα-sinα) |
| 1+sinα+cosα |
| cosα |
| 1+sinα |
| sinα |
| 1+cosα |
分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证
=
，只要证A•D=B•C，从而将分式化为整式．
| A |
| B |
| C |
| D |
解答：解：证法一：右边=
=
=
=
=
=左边
证法二：要证等式，即为
=
只要证2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）2
即证：2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα，
即1=sin2α+cos2α，显然成立，
故原式得证．
| cosα+cos2α-sinα-sin2α |
| (1+sinα)(1+cosα) |
=
| (cosα-sinα)(1+cosα+sinα) |
| 1+sinα•cosα+sinα+cosα |
=
| 2(cosα-sinα)(1+cosα+sinα) |
| 2(1+sinα+cosα+sinαcosα) |
=
| 2(cosα-sinα)(1+cosα+sinα) |
| 1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα |
=
| 2(cosα-sinα) |
| (1+sinα+cosα) |
证法二：要证等式，即为
| 2(cosα-sinα) |
| 1+sinα+cosα |
| (cosα-sinα)(1+sinα+cosα) |
| (1+sinα)(1+cosα) |
只要证2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）2
即证：2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα，
即1=sin2α+cos2α，显然成立，
故原式得证．
点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多．同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系．
练习册系列答案
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