Question

（08年赤峰二中模拟理）设函数f(x) = lnx - ax + 1.

(Ⅰ) 若函数f(x)为单调函数, 求实数a 的取值范围;

(Ⅱ) 当a > 0时, 恒有f(x) £ 0, 求a的取值范围;

(Ⅲ) 证明: ( n Î N, n ³ 2).

Answer 1

解析：(Ⅰ) f (x)的定义域为 (0, + ¥),  f ¢(x) =- a .

若函数f(x)为单调递增函数, 则f ¢(x) =- a ³ 0 (x > 0)恒成立,  ∴ a £ 0;

若函数f(x)为单调递减函数, 则f ¢(x) =- a £ 0 (x > 0)恒成立,  此时a不存在,

因此, a的取值范围是(- ¥, 0].

(Ⅱ)当a > 0时，令f ¢(x) =0, 得x =Î (0, + ¥), f ¢(x) 、f (x)随x的变化情况如下表:

x	(0,)		(, + ¥)
f ¢(x)	＋	0	－
f (x)	递增	极大值	递减

所以,  f(x)在x =处取得极大值f() = ln,

因为, 当a > 0时，f(x)有唯一的极大值点x =, 所以, 此极大值也是最大值.

要使f(x) £ 0恒成立, 只需f() = ln£ 0, 解得 a ³ 1,

∴ a的取值范围是[1, + ¥).  

(Ⅲ) 证明: 令a = 1, 由(Ⅱ) 知 lnx - x + 1 £ 0, ∴lnx £ x - 1,

当n Î N, n ³ 2时, lnn² £ n² - 1,

∴         

∴

      £

=

      <

      =

=

=.