Question

已知圆C满足以下三个条件：①圆心在直线x-y-1=0上，②与直线4x+3y+14=0相切，③截直线3x+4y+10=0所得弦长为6．求圆C的方程．

Answer 1

分析：根据题意设圆心坐标为（a，a-1），根据圆与直线4x+3y+14=0的距离d等于圆的半径r，表示出r，根据圆与直线3x+4y+10=0截得的弦长为6，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径，写出圆的方程即可．

解答：解：设圆心坐标为（a，a-1），
∵圆与直线4x+3y+14=0相切，
∴圆心到切线的距离d=

|7a+11|

5

=r，
∵圆截直线3x+4y+10=0所得弦长为6，圆心到直线3x+4y+10=0的距离为

|7a+6|

5

，
∴2

( |7a+11| 5 )2-( |7a+6| 5 )2

=6，
解得：a=2，
∴圆心坐标为（2，1），半径r=5，
则圆方程为（x-2）²+（y-1）²=25．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．