Question

如图l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体．
（I）求证：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F在什么位置时，能使折起后的几何体中EF∥平面AMN，并给出证明．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E?面A′EF，A′F?面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．
证明如下：当点F为BC的中点时，
在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC，
即在图（2）中有EF∥MN．
又EF?面A′MN，MN?面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
分析：（Ⅰ）由题意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，从而可得EF∥MN，继而有EF∥平面AMN．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，正确理解题意，将图形折起是基础，熟练应用线面垂直与线面平行的判定定理是解决问题的关键，属于中档题．