题目内容

已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=________.

±1
分析:由l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,可得此四边形存在一组对角的和等于180°.当直线l2的斜率
大于零时,根据l1⊥l2 ,由此求得k的值.当直线l2的斜率小于零时,应有∠ABC与∠ADC互补,即tan∠ABC=
-tan∠ADC,由此又求得一个k值,综合可得结论.
解答:由题意知,l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补.
由于直线l1:x+3y-5=0是一条斜率等于-的固定直线,直线l2:3kx-y+1=0经过定点A(0,1),
当直线l2的斜率大于零时,应有l1⊥l2 ,∴3 k×(-)=-1,解得 k=1.
当直线l2的斜率小于零时,如图所示:设直线l1与y轴的交点为B,与x轴的交点为C,l2 与x轴的交点为D,
要使四边形ABCD是圆内接四边形,应有∠ABC与∠ADC互补,即tan∠ABC=-tan∠ADC.
再由tan(90°+∠ABC)=KBC=-,可得tan∠ABC=3,∴tan∠ADC=-3=KAD=3k,解得 k=-1.
综上可得,k=1或 k=-1,
故答案为:±1.

点评:本题考查两条直线垂直的条件,直线的倾斜角、斜率间的关系,存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆,
属于基础题.
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