题目内容

给定椭圆＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为．

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1l2，使得l1l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．

答案：
解析：

　　解：(1)因为，所以　　2分

　　所以椭圆的方程为，准圆的方程为　　4分

　　(2)①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

　　因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

　　当方程为时，此时与准圆交于点

　　此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是

　　(或，即为(或，显然直线垂直；

　　同理可证方程为时，直线垂直　　7分

　　②当都有斜率时，设点其中，

　　设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

　　则，消去得到，

　　即，

　　，

　　经过化简得到：　　9分

　　因为，所以有，

　　设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

　　所以满足上述方程，

　　所以，即垂直　　13分


练习册系列答案
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给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．
给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．
给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．
给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．
给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．

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