已知圆M过E两点.且圆心在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程,的直线被圆M所截得得弦长为$2\sqrt{3}$.求该直线的方程,(3)若P为直线3x+4y+8=0上的动点.过P做圆M的切线.切点为A.B.求当$\overrightarrow{|{PA}|}$的最小值.并求此时$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，
（1）求圆M的方程；
（2）若过点（-2，2）的直线被圆M所截得得弦长为$2\sqrt{3}$，求该直线的方程；
（3）若P为直线3x+4y+8=0上的动点，过P做圆M的切线，切点为A，B，求当$\overrightarrow{|{PA}|}$的最小值，并求此时$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

分析（1）设出圆的标准方程，利用圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）求出圆心到直线的距离为1，分类讨论，即可求该直线的方程；
（3）由题意，$\overrightarrow{|{PA}|}$最小时，MP垂直于直线，此时|MP|=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{9+16}}$=3，$\overrightarrow{|{PA}|}$=$\sqrt{5}$，即可求此时$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

解答解：（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）圆的半径为2，直线被圆M所截得得弦长为$2\sqrt{3}$，∴圆心到直线的距离为1．
直线的斜率不存在时，x=-2，圆心到直线的距离为3，不符合题意；
直线的斜率存在时，设方程为y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，
∴圆心到直线的距离为$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=0或-$\frac{3}{4}$，
∴直线的方程为y=2或3x+4y-2=0；
（3）由题意，$\overrightarrow{|{PA}|}$最小时，MP垂直于直线，此时|MP|=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{9+16}}$=3，∴$\overrightarrow{|{PA}|}$=$\sqrt{5}$，
sin∠APM=$\frac{2}{3}$，cos∠APM=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴cos∠APB=2cos²∠APM-1=$\frac{1}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{5}{9}$．

	高效	非高效	统计
新课常模式	60	30	90
传统课堂模式	40	50	90
统计	100	80	180

P（K²≧K₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

评分	1	2	3	4	5
人数	x	20	10	5	y

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