Question

已知双曲线4x²-y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与双曲线有公共点？
（2）若直线被双曲线截得的弦长为

2 14

3

，求直线的方程．

Answer 1

分析：（1）由

y=x+m 4x2-y2=1

，得：3x²-2mx-m²-1=0，利用根的判断式得到不论m为何实数，直线与双曲线都有公共点．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0的二实数根，由弦长公式得|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

16m2+12

3

=

2 14

3

，由此能求出直线方程．

解答：解：（1）由

y=x+m 4x2-y2=1

消去y得：3x²-2mx-m²-1=0，…（*）
∵△=（-2m）²-4•3（-m²-1）=16m²+12
由于对于m∈R，△=16m²+1＞0恒成立，
不论m为何实数，直线与双曲线都有公共点．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程3x²-2mx-m²-1=0，…（*）的二实数根，
∴x1+x2=

2m

3

，x1•x2=-

m2+1

3

由弦长公式得：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

16m2+12

3

=

2 14

3

，解之得：m=±1
故所求直线方程是：y=x±1．

点评：本题考查直线与双曲线交点情况的判断，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、直线方程、韦达定理、弦长公式等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答．