Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinA，cosA)，且

a

•

b

=1．
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinA，cosA)，且

a

•

b

=1，可得

3

sinA-cosA=1，求得sin(A-

π

6

)=

1

2

．结合0＜A＜π，求得A的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简所给的等式为

1+tanB

1-tanB

=-3，解得tanB的值，再由tanC=-tan（A+B），利用两角和的正切公式运算求得结果．

解答：解：（1）△ABC中，由向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinA，cosA)，且

a

•

b

=1，可得

3

sinA-cosA=1，
即2sin(A-

π

6

)=1，∴sin(A-

π

6

)=

1

2

．…（4分）
而∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，…（5分）
∴A-

π

6

=

π

6

，即∴A=

π

3

． …（6分）
（2）∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

cos2B-sin2B

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

=-3，
∴解得tanB=2，…（11分）
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=

8+5 3

11

．…（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的直求角，属于中档题．