Question

已知⊙C与两平行直线x-y=0及x-y-4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）斜率为2的直线l与⊙C相交于A，B两点，O为坐标原点且满足

OA

⊥

OB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行线之间的距离求出圆的直径，设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离，求出圆心坐标，可得圆的方程．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，说明直线l经过圆的圆心，然后利用两点式求出直线方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意知⊙C的直径为两平行线 x-y=0及x-y-4=0之间的距离
∴d=2R=

|0-(-4)|

2

=2

2

解得R=

2

，…（3分）
由圆心C（a，-a）到 x-y=0的距离

|2a|

2

=R=

2

得a=±1，检验得a=1…（6分）
∴⊙C的方程为（x-1）²+（y+1）²=2…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙C过原点，因为

OA

⊥

OB

，则l经过圆心，…（9分）
直线l的斜率为：2，圆的圆心坐标（1，-1），
所以直线l的方程：2x-y-3=0…（13分）
（注：其它解法请参照给分．）

点评：本题考查圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力与转化思想的应用．