Question

在直角坐标系中以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C的圆心的极坐标C(1，

π

2

)，半径r=1，直线l的参数方程为

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数）．
（1）求圆的极坐标方程，并将极坐标方程化成直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程化为普通方程，并判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（1）设圆C上任意一点为M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如图所示，利用切线的性质可得∠OAM=θ．在Rt△OMA中，OA=2，利用直角三角形的边角关系MO=AOsinθ．即可得出．
（2）两式相减即可消去参数t可得直线l的普通方程，由于直线l过圆内一点即可得到直线与圆的位置关系．

解答：解：（1）设圆C上任意一点为M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如图所示，
在Rt△OMA中，OA=2，由MO=AOsinθ得ρ=2sinθ．
化为直角坐标方程x²+（y-1）²=1．（或x²+y²-2y=0．）
（2）由直线l的参数方程为

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数）．消去参数t可得x-1=y-2，得直线l的普通方程x-y+1=0．
∵圆心C（0，1）满足直线l的方程，
∴直线与圆C相交．

点评：熟练掌握直线圆相切的性质、极坐标方程化为直角坐标方程的公式、直线与圆的位置公式的判定方法等是解题的关键．