Question

某中学有5名报考艺术类的考生要参加专业測试，已知每位考生专业测试合格的概率等于

2

3

．
（I ）假设该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率等于

80

243

，求r的值；
（II）假设该中学5名考生专业測试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由每位考生专业测试合格的概率求得：每位考生专业测试不合格的概率，再结合n次独立重复试验中恰好发生k次的概率即可求得该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率，列出方程即可求得r值；
（Ⅱ）根据题意，易得 ξ：ξ～B（5，

2

3

），根据其概率分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得ξ的期望和方差．

解答：解：（I）∵每位考生专业测试合格的概率等于

2

3

．
∴每位考生专业测试不合格的概率等于1-

2

3

=

1

3

．
∴该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率
=c₅^Rp^r（1-p）^5-r=

80

243

?r=3，4．
（II）∵该中学5名考生专业測试合格的人数为ξ：
ξ～B（5，

2

3

）
∴ξ的期望=5×

2

3

=

10

3

方差=5×

2

3

×

1

3

=

10

9

．

点评：本题考查对立事件、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算与由分布列求期望的方法，关键是明确事件之间的关系，准确得出概率的类型．