Question

（2006•松江区模拟）（理）设α、β是方程x²+x+1=0的两根，则α²⁰⁰⁶+β²⁰⁰⁶+1=

0

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程写出方程的两个根，是一对互为共轭复数的虚根，根据这两个根的三次方是1，把要求的结果进行整理，转化成两个根的平方和的形式，求出结果．

解答：解：α、β是方程x²+x+1=0的两根，
∴α=-

1

2

+

3

2

i，β=-

1

2

-

3

2

i
∴α³=β³=1
∴α²⁰⁰⁶+β²⁰⁰⁶+1=α²+β²+1=(-

1

2

+

3

2

i)2+(-

1

2

-

3

2

i)2=0，
故答案为：0

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是写出根，看出根的特点，熟练应用虚数单位的性质，本题是一个中档题目．