题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)当时,记
的最小值为
,求证:
.
【答案】(1) 函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.(2) 见解析.
【解析】
(Ⅰ)对函数求导,代入参数a的值,即可得到函数的单调区间;(Ⅱ)通过对函数求导研究函数的单调性得到,
,由
得:
,构造函数
,对函数求导可得到函数的最值.
(Ⅰ)的定义域是
,
.
当时,
,
因为函数,
单调递增,且
,
所以:当时,
,
当时,
,
所以:函数的单调递减区间为:
,单调递增区间为:
;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得的定义域是
,
,
令,则
,
在
上单调递增,
因为,
所以,
,
故存在,使得
,
当时,
,故
,
单调递减;
当时,
,故
,
单调递增;
故时,
取得最小值,
即,
由得:
,
令,
,则
,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
故,即
时,
取最大值1,
故.
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