题目内容

如图,图(1)是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线.
(1)请在图(2)的正方体中画出MN、PQ;并求此时MN与PQ所成角的大小;
(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比.(说明:求角与体积时,若需画辅助图,请分别画在图(3)、(4)中)
分析:(1)根据正方体的表面展开图,画出MN、PQ,如图(2),在图(3)中,连接NA,AM,则AN∥PQ,∠MNA(或其补角)为MN与PQ所成角.
(2)V四面体MNPQ=V N-MPQ,其体积易求出,再与正方体的体积作比即可.
解答:解:
(1)如图所画.在图(3)中,连接NA,AM,则AN∥PQ,∠MNA(或其补角)为MN与PQ所成角,∵△MNA是正三角形,,∠MNA=60°,所以MN与PQ所成角的大小是60°.
 (2)设正方体棱长为1,V四面体MNPQ=V N-MPQ=
1
3
S△PMQ×NP=
1
3
×
1
2
×1
=
1
6
,四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1:6.
点评:本题考查正方体的表面展开图 与直观图,考查异面直线夹角、体积的计算.考查空间想象、计算、转化能力.
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