题目内容

椭圆 $数学公式$ 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上，过右焦点作相互相垂直的两条弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线MN恒过定点，并求该定点的坐标．

（1）解：由题意，椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）证明：当AB的斜率为0或不存在时，直线MN的方程为y=0；
当AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x-1）
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
直线AB的方程y=k（x-1）与椭圆方程联立，消去y可得（2k²+1）-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）= $\text{[math]}$
∴M（ $\text{[math]}$ ）
同理可得N（ $\text{[math]}$ ）
∴直线MN的方程为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
化简可得（2-2k²）y=3k（x- $\text{[math]}$ ）
∴直线MN恒过定点（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根据椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²-1上，可得b=c=1，从而可求椭圆的方程；
（2）直线AB的方程与椭圆方程联立，确定M、N的坐标，可得直线MN的方程，化简即可得到直线MN恒过定点．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，确定直线MN的方程是关键．

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