题目内容
椭圆
的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2-1上,过右焦点作相互相垂直的两条弦AB,CD,设M,N分别为AB,CD的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明直线MN恒过定点,并求该定点的坐标.
(1)解:由题意,椭圆
的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2-1上
∴b=c=1,∴a2=b2+c2=2
∴椭圆的方程为
;
(2)证明:当AB的斜率为0或不存在时,直线MN的方程为y=0;
当AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1)
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点M的坐标为(
,
)
直线AB的方程y=k(x-1)与椭圆方程联立,消去y可得(2k2+1)-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=
∴y1+y2=k(x1+x2-2)=
∴M(
)
同理可得N(
)
∴直线MN的方程为:
=
化简可得(2-2k2)y=3k(x-
)
∴直线MN恒过定点(
,0).
分析:(1)根据椭圆
的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2-1上,可得b=c=1,从而可求椭圆的方程;
(2)直线AB的方程与椭圆方程联立,确定M、N的坐标,可得直线MN的方程,化简即可得到直线MN恒过定点.
点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线恒过定点,确定直线MN的方程是关键.

∴b=c=1,∴a2=b2+c2=2
∴椭圆的方程为

(2)证明:当AB的斜率为0或不存在时,直线MN的方程为y=0;
当AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1)
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点M的坐标为(


直线AB的方程y=k(x-1)与椭圆方程联立,消去y可得(2k2+1)-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=

∴y1+y2=k(x1+x2-2)=

∴M(

同理可得N(

∴直线MN的方程为:


化简可得(2-2k2)y=3k(x-

∴直线MN恒过定点(

分析:(1)根据椭圆

(2)直线AB的方程与椭圆方程联立,确定M、N的坐标,可得直线MN的方程,化简即可得到直线MN恒过定点.
点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线恒过定点,确定直线MN的方程是关键.

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