题目内容

(1)△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中点,求证:EQ⊥平面A′FD
(2)当E、F分别是AB、BC的中点时,求二面角A′-EF-D的正弦值.
分析:(1)只需证明EQ⊥A′F,EQ⊥A′D,根据等腰三角形中线性质及线面垂直的性质可证明;
(2)取EF中点O,连接A′O,OD,可证∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角,利用余弦定理可求得cos∠A′OD,从而可求角∠A′OD;
(2)取EF中点O,连接A′O,OD,可证∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角,利用余弦定理可求得cos∠A′OD,从而可求角∠A′OD;
解答:解:(1)∵DA′⊥A′E,DA′⊥A′F,A′E∩A′F=A′,
∴DA′⊥面A′EF,
∴DA′⊥EQ,
又△A′EF为正三角形,Q′为A′F的中点,
∴EQ⊥A′F,A′F∩DA′,
∴EQ⊥面DA′F;
(2)解:∵E、F为AB、BC的中点,
∴A′E=A′F=1,ED=FD=
=
,EF=
=
,
取EF中点O,连接A′O,OD,则A′O⊥EF,DO⊥EF,
∴∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角,
OD=
=
=
,A′O=
=
=
,
在△A′OD中,cos∠A′OD=
=
=
,
∴∠A′OD=arccos
,
故二面角A′-EF-D大小为arccos
.
∴DA′⊥面A′EF,
∴DA′⊥EQ,
又△A′EF为正三角形,Q′为A′F的中点,
∴EQ⊥A′F,A′F∩DA′,
∴EQ⊥面DA′F;
(2)解:∵E、F为AB、BC的中点,
∴A′E=A′F=1,ED=FD=
AD2+AE2 |
5 |
BE2+BF2 |
2 |
取EF中点O,连接A′O,OD,则A′O⊥EF,DO⊥EF,
∴∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角,
OD=
ED2-OE2 |
5-(
|
3
| ||
2 |
A′E2-EO2 |
1-(
|
| ||
2 |
在△A′OD中,cos∠A′OD=
A′O2+OD2-A′D2 |
2A′O•OD |
| ||||||||
2×
|
1 |
3 |
∴∠A′OD=arccos
1 |
3 |
故二面角A′-EF-D大小为arccos
1 |
3 |
点评:本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角及其求法,此题是中档题.

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