Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1 ， BC的中点．
（1）求证：AB⊥C1F；
（2）求证：C1F∥平面ABE；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BB1⊥底面ABC，AB平面ABC

∴BB1⊥AB．

又∵AB⊥BC，BC平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，BC∩BB1=B，

∴AB⊥平面B1BCC1，

又∵C1F平面B1BCC1，

∴AB⊥C1F．

（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．

∵F，G分别是BC，AB的中点，

∴FG∥AC，且FG= AC，

∵AC A1C1，E是A1C1的中点，∴EC1= A1C1．

∴FG∥EC1，且FG=EC1，

∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG．

又∵EG平面ABE，C1F平面ABE，EG平面ABE，

∴C1F∥平面ABE．

（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB= = ．

∴三棱锥E﹣ABC的体积V= S△ABCAA1= × × ×1×2=

【解析】（1）由BB1⊥平面ABC得AB⊥BB1 ， 又AB⊥BC，故AB⊥平面B1BCC1 ， 所以AB⊥C1F；（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形EGFC1是平行四边形，故而C1F∥EG，于是C1F∥平面ABE；（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．