Question

已知实数a是常数，f（x）=x³+ax²-3x+7．
（I ）当x∈[2，+∞）时，f（x）的图象的切线的斜率不小于0，求a的取值范围；
（II）如果当x=3时，f（x）取得极值，当．x∈[1，4]时，证明：|f（x）|≤11．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'（x）=3x²+2ax-3＜0对任意x∈R恒成立的a的取值范围，进而根据二次函数的性质可解题．
（II）根据题中条件：“当x=3时，f（x）取得极值”知3是方程f′（x）=0的一个根，由此求得a值，再求出f（x）的最值即可证得：|f（x）|≤11．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-3
∵当x∈[2，+∞）时，f（x）的图象的切线的斜率不小于0
∴当x∈[2，+∞）时，f′（x）=3x²+2ax-3≥0恒成立．
∴当x∈[2，+∞）时，a≥

3

2

（

1

x

-x）
∵当x∈[2，+∞）时，

3

2

（

1

x

-x）是减函数，
∴当x∈[2，+∞）时，

3

2

（

1

x

-x）的最大值为：

3

2

（

1

x

-2）=-

9

4

∴a≥-

9

4

（II）证明：设3，n是方程f′（x）=3x²+2ax-3=0的实数根，则：

n+3=- 2a 3 3n=-1

∴

n=- 1 3 a=-4

∴f（x）=x³-4x²-3x+7.-

1

3

∉[1，4]
∵f（1）=1，f（3）=-11，f（4）=-5
∴f（x）在[1，4]上的最小值是-11，最大值为：1
∴在[1，4]上|f（x）|的最大值为：11
∴x∈[1，4]时，|f（x）|≤11．

点评：本题主要考查导数的几何意义和函数在某点取得极值的条件．属中档题．