Question

对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+

1

2a2+1

是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x为不动点，则有2x²-x-4=x，变形为2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）将f（x）=x转化为ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△_x＞0恒成立求解；
（3）由垂直平分线的定义解决，由A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，则有k_AB=1，再由直线y=kx+

1

2a2+1

是线段AB的垂直平分线，得到k=-1，再由中点在直线y=kx+

1

2a2+1

上求解．

解答：解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x²-x-4．
设x为其不动点，即2x²-x-4=x．
则2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△_x＞0恒成立，即b²-4a（b-2）＞0．即b²-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△_b＜0．，∴16a²-32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
直线y=kx+

1

2a2+1

是线段AB的垂直平分线，∴k=-1
记AB的中点M（x₀，x₀）．由（2）知x0=-

b

2a

，∵M在y=kx+

1

2a2+1

上，∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

．
化简得：b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

1

2 2a• 1 a

=-

2

4

(当a=

2

2

时，等号成立）．
即0＞b≥-

2

4

．即[-

2

4

，0）．

点评：本题主要考查方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．