题目内容

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量 $数学公式$ =（a²+b²-c²，ab）， $数学公式$ =（sinC，-cosC），且 $数学公式$ ．
（I）求角C的大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 得：（a²+b²-c²）sinC-ab•cosC=0，…（2分）
结合余弦定理得：sinC= $\text{[math]}$ ，∴C=30°（∵C是锐角）．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，…（7分）
∴a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．
∴a²+b²=4sin²A+4 sin²（A+30°）=2（1-cos2A）+2[1-2cos（2A+60°）]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A
=4cos2A-cos2A+ $\text{[math]}$ sin2A=4+ $\text{[math]}$ sin2A-3cos2A=4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°）．…（10分）
∵△ABC是锐角三角形，由0°＜A＜90°及 0°＜B=150°-A＜90°，得：60°＜A＜90°，120°＜2A＜180°，
从而 60°＜2A-60°＜120°， $\text{[math]}$ ＜sin（ 2A-60°）≤1，3＜2 $\text{[math]}$ sin（ 2A-60°）≤2 $\text{[math]}$ ，故7＜4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°）≤4+2 $\text{[math]}$ ，
即a²+b²的取值范围是（7，4+2 $\text{[math]}$ ）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 得：（a²+b²-c²）sinC-ab•cosC=0，结合余弦定理得sinC= $\text{[math]}$ ，从而求得 C的值．
（Ⅱ）由正弦定理得a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．化简 a²+b² 为 4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°），根据角的范围求出sin（2A-60°）的范围，即可求出
4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°）的范围，即为所求．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，属于中档题．