题目内容
椭圆

上任一点P到两个焦点的距离的和为6,焦距为

,A,B分别是椭圆的左右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k
1,k
2,证明:k
1•k
2为定值;
(Ⅲ)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设

,求函数f(x)的最大值.
【答案】
分析:(Ⅰ)由题意得,2a=6,

,再据b
2=a
2-c
2求出b
2的值,即可得到椭圆的方程.
(Ⅱ)设P(x
,y
),利用斜率公式及P在椭圆上求得k
1和k
2 的解析式,从而计算出 k
1•k
2的值.
(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,求出S(x),可得函数f(x)的解析式,利用导数判断单调性,
从而求出极值.
解答:解:(Ⅰ)由题意得,2a=6,∴a=3.
又

,∴

,b
2=a
2-c
2=1,故椭圆的方程为

.
(Ⅱ)设P(x
,y
)(y
≠0),A(-3,0),B(3,0),,则

,即

,则

,即

,∴k
1•k
2为定值

.
(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,则

,且

,
于是,

(0<x<3),

. 令f'(x)=0,解之得x=1或x=-3(舍去),
当0<x<1,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1<x<3,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值

.
点评:本题考查椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,以及利用导数判断函数的单调性求函数的极值.
练习册系列答案
相关题目