题目内容
椭圆

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1•k2为定值;
(Ⅲ)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设

【答案】分析:(Ⅰ)由题意得,2a=6,
,再据b2=a2-c2求出b2的值,即可得到椭圆的方程.
(Ⅱ)设P(x,y),利用斜率公式及P在椭圆上求得k1和k2 的解析式,从而计算出 k1•k2的值.
(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,求出S(x),可得函数f(x)的解析式,利用导数判断单调性,
从而求出极值.
解答:解:(Ⅰ)由题意得,2a=6,∴a=3.
又
,∴
,b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)设P(x,y)(y≠0),A(-3,0),B(3,0),,则
,即
,则
,即
,∴k1•k2为定值
.
(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,则
,且
,
于是,
(0<x<3),
. 令f'(x)=0,解之得x=1或x=-3(舍去),
当0<x<1,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1<x<3,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值
.
点评:本题考查椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,以及利用导数判断函数的单调性求函数的极值.

(Ⅱ)设P(x,y),利用斜率公式及P在椭圆上求得k1和k2 的解析式,从而计算出 k1•k2的值.
(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,求出S(x),可得函数f(x)的解析式,利用导数判断单调性,
从而求出极值.
解答:解:(Ⅰ)由题意得,2a=6,∴a=3.
又



(Ⅱ)设P(x,y)(y≠0),A(-3,0),B(3,0),,则





(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,则


于是,


当0<x<1,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1<x<3,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值

点评:本题考查椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,以及利用导数判断函数的单调性求函数的极值.

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