Question

若关于x的不等式≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：关于x的不等式≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等价于≥ 对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由=，知对 x∈（-∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．
解答：解：关于x的不等式≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等价于≥ 对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∵=，
∴对 x∈（-∞，λ]恒成立．
设，它的图象是开口向上，对称轴为x=-的抛物线，
∴当x≤-时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ²+，
解得λ≤-1，或（舍）
当x＞-，左边的最小值就是在x=-时取到，
达到最小值时，=，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．