题目内容

过双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（m＞0，n＞0）上的点P（ $数学公式$ ，- $数学公式$ ）作圆x²+y²=m的切线，切点为A、B，若 $数学公式$ =0，则该双曲线的离心率的值是

A.
4
B.
3
C.
2
D.
$数学公式$

C
分析：如图，根据向量的数量积 $\text{[math]}$ 得出∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，从而四边形OAPB是正方形，利用OA= $\text{[math]}$ OP求出m的值，又因为双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（m＞0，n＞0）上的点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），求出n的值，从而得出该双曲线的离心率的值．
解答：

解：如图，∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，
∴四边形OAPB是正方形，
∴OA= $\text{[math]}$ OP= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =2，
即 $\text{[math]}$ =2，∴m=4，
又因为双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（m＞0，n＞0）上的点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，∴n=12，
则该双曲线的离心率的值是
e= $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．