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已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax
2
+bx+c恒非负,且a<b,则
a+b+c
b-a
的最小值是
3
3
.
试题答案
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分析:
由题意可得 b>a>0,再由△≤0得到c≥
b
2
4a
,故
a+b+c
b-a
≥
a+b+
b
2
4a
b-a
=
[3a+(b-a)]
2
4a(b-a)
≥
(2
3a(b-a)
)
2
4a(b-a)
=3,从而求得
a+b+c
b-a
的最小值.
解答:
解:∵二次函数f(x)=ax
2
+bx+c恒非负,故 b>a>0.
再由△≤0得到c≥
b
2
4a
.
则
a+b+c
b-a
≥
a+b+
b
2
4a
b-a
=
4a
2
+b
2
+4ab
4a(b-a)
=
[3a+(b-a)]
2
4a(b-a)
≥
(2
3a(b-a)
)
2
4a(b-a)
=
12a(b-a)
4a(b-a)
=3,
故当3a=b-a,且 c=
b
2
4a
时,
a+b+c
b-a
取得最小值是3,
即 b=c=4a时,
a+b+c
b-a
的最小值是3,
故答案为 3.
点评:
本题主要考查二次函数的性质,基本不等式的应用,式子的变形是解题的关键和难点,属于中档题.
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2
+bx+c恒非负,且a<b,则
M=
a+b+c
b-a
的最小值是
.
已知对任意实数
x
,二次函数
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
恒非负,且
a
<
b
,则 的最小值是____。
已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax
2
+bx+c恒非负,且a<b,则
a+b+c
b-a
的最小值是______.
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