Question

某商场搞促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可以抽奖，根据顾客购买商品的金额，从箱中（装有4只红球，3只白球，且除颜色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只红球奖励20元的商品，每抽到一只白球奖励10元的商品（当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中）．
（1）当顾客购买金额超过500元而少于1000元（含1000元）时，可从箱中一次随机抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
（2）当顾客购买金额超过1000元时，可一次随机抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ元，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）基本事件总数n=C₇³=35，设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件

.

A

={任取3球，全是白球}．故P（

.

A

）=

1

35

，由A与

.

A

为对立事件，能求出该顾客任取3球，至少有一个红球的概率．
（2）依题意，ξ的可能取值为50，60，70，80，分别求出P（ξ=50），P（ξ=60，P（ξ=70）和P（ξ=80）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）基本事件总数n=C₇³=35，设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件

.

A

={任取3球，全是白球}．
∴P（

.

A

）=

1

35

，∵A与

.

A

为对立事件，于是
P（A）=1-P（

.

A

）=

34

35

．
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为

34

35

．
（2）依题意，ξ的可能取值为50，60，70，80，
ξ=50表示所取4球为3白1红（3×10+1×20=50），
∴P（ξ=50）=

C 3 3 • C 1 4

C 4 7

=

4

35

，
ξ=60表示所取4球为2白2红（2×10+2×20=60），
∴P（ξ=60）=

C 2 3 • C 2 4

C 4 7

=

18

35

，
ξ=70表示所取4球为3红1白（3×20+1×10=70），
∴P（ξ=70）=

C43•C31

C74

=

12

35

，
ξ=80表示所取4球全为红球（4×20=80），
∴P（ξ=80）=

C44

C74

=

1

35

．
于是ξ的分布列为：

ξ	50	60	70	80
P	4 35	18 35	12 35	1 35

∴Eξ=50×

4

35

+60×

18

35

+70×

12

35

+80×

1

35

=

440

7

（元）．
即该顾客获奖的期望是

440

7

≈63（元）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．