Question

【题目】设函数， ．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，讨论函数与图像的交点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为求函数,的零点个数问题，通过求导，得到函数F（x）的单调区间，求出F（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．

试题解析：

（Ⅰ）解：函数的定义域为， ，

当时， ，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时， ；当时， ，函数的单调递减；当时， ，函数的单调递增.

综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.

（Ⅱ） 解：令，问题等价于求函数的零点个数，

当时， ，有唯一零点；当时， ，

当时， ，函数为减函数，注意到， ，

所以有唯一零点；

当时， 或时， 时，

所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，

，所以有唯一零点；

当时， 或时， 时，

所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，

所以，而，

所以有唯一零点.

综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.