Question

过双曲线

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的点P（

5

，-

3

）作圆x²+y²=m的切线，切点为A、B，若

PA

•

PB

=0，则该双曲线的离心率的值是（　　）

• A．4
• B．3
• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：如图，根据向量的数量积

PA

•

PB

=0得出∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，从而四边形OAPB是正方形，利用OA=

2

2

OP求出m的值，又因为双曲线

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的点P（

5

，-

3

），求出n的值，从而得出该双曲线的离心率的值．

解答：解：如图，∵

PA

•

PB

=0，∴

PA

⊥

PB

，
∴∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，
∴四边形OAPB是正方形，
∴OA=

2

2

OP=

2

2

×2

2

=2，
即

m

=2，∴m=4，
又因为双曲线

x2

m

-

y2

n

=1（m＞0，n＞0）上的点P（

5

，-

3

），
∴

5

m

-

3

n

=1，∴n=12，
则该双曲线的离心率的值是
e=

c

a

=

4+12

2

=

16

2

=2．
故选C．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系、双曲线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．