题目内容

已知向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的对应关系用 $数学公式$ 表示．
（Ⅰ）设 $数学公式$ ，求向量 $数学公式$ 及 $数学公式$ 的坐标；
（Ⅱ）求使 $数学公式$ ，（p，q为常数）的向量 $数学公式$ 的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量 $数学公式$ 及常数m，n恒有 $数学公式$ 成立．

解：（I）由已知得 $\text{[math]}$ =（1，1）， $\text{[math]}$ =（0，-1）
（II）设 $\text{[math]}$ =（x，y），则 $\text{[math]}$ ，
∴y=p，x=2p-q，即 $\text{[math]}$ =（2P-q，p）．
（III）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
故　 $\text{[math]}$ =m（a₂，2a₂-a₁）+n（b₂，2b₂-b₁），
∴ $\text{[math]}$
分析：（I）由已知中向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的对应关系用 $\text{[math]}$ 表示，我们根据 $\text{[math]}$ ，易得向量 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的坐标；
（II）设 $\text{[math]}$ =（x，y），根据 $\text{[math]}$ ，我们可以构造关于x，y的方程，解方程即可求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标；
（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ ，分别求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，比照后即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，其中正确理解新定义向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的对应关系用 $\text{[math]}$ 表示是解答本题的关键．