题目内容
【题目】已知函数
在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求
的取值范围;
（2）设两个极值点分别为：
，
，证：
.
【答案】（1）
.（2）见解析
【解析】
（1）由题得
，令
，则函数
在定义域内有两个不同的极值点等价于
在区间
内至少有两个不同的零点，再利用导数得到
，解不等式即得解；
（2）分析得到要证：
，只需证明
，即证
，不妨设
，即证
，构造函数构造函数
，其中
，证明
即得证.
（1）由题意可知，的定义域为，
且，
令，
则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点.
由
可知，
当
时，
恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.
当
时，由
得，
，即函数在区间
上单调递增；
由得，
，即函数在区间
上单调递减；
故要满足题意，必有，解得.
（2）证明：由（1）可知，
，
故要证，
只需证明，
即证，不妨设，即证，
构造函数，其中，
由
，
所以函数
在区间
内单调递减，所以得证.
即证.
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